量子：量子是组成物质和能量的离散的基本单位。有别于传统经典物理中的概念，在微观世界中物质与能量会从一个个连续的量变成一个个离散的量（就像人走上台阶一样，人只能站在整数台阶上，而不能站在第 1.6 个或 2.4 个台阶上，因为不稳定）。这种离散的物理学概念就是量子~
基础公设
量子力学的五个基础公设
- 态矢量公设/量子态公设：量子系统的状态由希尔伯特空间中的态矢量描述，态矢量视为系统的“信息载体”，包含了关于系统所有可能测量结果的信息；波函数是态矢量的一种具体表示
- 可观察量公设：每个可观察物理量（比如位置或动量等可测的物理量）对应于一个希尔伯特空间中的厄米算符，厄米算符输出的结果必须是实数（本征值），用正交性确保结果和量子状态的唯一性，并且所有可能的结果覆盖了观测的所有可能，是连接量子理论与物理现实的数学桥梁
- 时间演化公设：封闭量子系统的时间演化由薛定谔方程描述；薛定谔方程描述了态矢量如何随时间变化，可以将其视为量子系统的“动力学规则”，类似于经典力学中的牛顿运动定律
- 测量公设/坍缩公设：测量一个可观察量时，系统的态矢量会坍缩到该可观察量的一个本征态，测量结果是对应的本征值，类似于从多个可能性中随机选择一个结果（经典理论-薛定谔的猫）
- 复合系统公设：在量子力学中，复合系统的态空间是各子系统态空间的张量积。例如，如果有两个子系统的状态分别为 $|A \rangle$ 和 $|B \rangle$，则它们的复合系统的状态可以写成 $|A \rangle \otimes |B \rangle$，即二者的张量积
五个基础公设不能被严格推导出来，而是从实验结果仔细分析归纳总结而得到的；从这五个公设，可以推导出整个量子力学；至今为止，量子力学已被实验反复验证和核对，具备极高的准确度
公设1说明量子力学如何描述物理系统；公设2说明量子力学如何刻画物理量；公设3给出封闭量子力学系统演化的动力学方程；公设4给出获取量子系统信息的测量理论；公设5描述如何描述复合量子系统
在另外的一些教材中，也常将全同性原理或波恩公设作为第五个基础公设；全同性原理认为，当两个粒子的内禀属性全部相同(质量，电荷，自旋，同位旋，内部结构以及其他) 时，它们是无法区分的全同粒子；波恩公设认为，测量一个可观察量并得到本征态结果的概率，是该本征态对应态矢量的分量的平方 复合系统公设强调理论框架的数学完备性（从孤立系统到复合系统）；全同性原理强调粒子的不可区分性和对称性；波恩公设则指出量子态的概率幅（态矢量的分量）与测量结果的概率之间的关系
薛定谔方程
量子态的复数波函数： $$ \Psi(x, t) = A * e^{i \psi (x, t)} $$
- $\psi (x, t)$ 表示量子相位，相位描述信号波形变化的度量，通常以度 （角度）作为单位
- 在位置表象中，波函数 $\Psi (x, t)$ 的模平方 $|\Psi(x, t)|^2$ 表示在位置 $x$ 处找到粒子的概率
- 电子的自旋态可表示为二维复矢量：$|\psi \rangle=\alpha|\uparrow_{z} \rangle + \beta |\downarrow_{z} \rangle$，其中 $\uparrow_{z} \rangle$ 和 $|\downarrow_{z} \rangle$ 是电子 $z$ 方向自旋的基矢，满足 $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$（概率守恒，即两种方向的合计概率为 1）
封闭量子系统的薛定谔方程： $$ \mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|\psi(t)\rangle=H(t)|\psi(t)\rangle $$
- 哈密顿算符 $H$ 是量子力学中描述系统总能量的算符，包含系统的动能和势能部分
- $\hbar$ 是约化普朗克常数/狄拉克常数/角动量量子，$\hbar=\frac{h}{2\pi}\approx 1.054571800(13)\times 10^{-34} J \cdot s$；其中 $h$ 表示普朗克常数，其描述量子大小的物理常量，确保物理量（如能量、角动量）呈现离散化
- 根据薛定谔方程，假设时间从 $t_{0}$ 流动到 $t$ 时，态矢量从 $\psi(t_{0})\rangle$ 演化到 $\psi(t)\rangle$；这过程以方程表示为 $|\psi(t)\rangle=\hat{U}(t,t_{0})|\psi(t_{0})\rangle$；其中 $\hat{U}(t,t_{0})=e^{-i\hat{H}(t-t_{0})/\hbar}$ 是时间演化算符
- 给定系统的哈密顿算符 $H$ 并代入薛定谔方程，即可求解出系统状态随时间的变化关系
- 薛定谔方程的短波长极限（普朗克常数$\to 0$，量子效应消失）就是几何力学中的哈密顿-雅克比方程
思考与问答：
- 为什么是矢量？量子态的核心特性是叠加性，即若 $|\psi_{1} \rangle$ 和 $|\psi_{2} \rangle$ 是可能的态，则它们的线性组合 $\alpha|\psi_{1} \rangle + \beta |\psi_{2} \rangle$（$\alpha,\beta$ 为复数）也是可能的态。矢量的线性结构天然适合描述这种叠加
- 为什么是希尔伯特空间？提供内积、完备性和正交基底，支持概率诠释和动力学演化
- 为什么要考虑复数？编码相位信息，满足幺正演化（概率守恒，即态矢量的模长平方恒为 1），实现非对易算符的数学自洽性（比如仅用实数无法区分顺时针和逆时针旋转）
- 如何理解本征值？给定一个线性算符 $\hat{A}$，若存在非零态矢量 $|\psi \rangle$ 和标量 $a$，满足 $\hat{A} |\psi \rangle=a|\psi \rangle$ ，则称 $a$ 为算符 $\hat{A}$ 的本征值，$|\psi \rangle$ 是对应的本征态（在数学结构上类似于线性代数中的特征值和特征向量）；本征值是量子世界的“刻度尺”，标记了物理量所有可能的测量值，并通过本征态为每个结果赋予概率
量子叠加
量子叠加：量子系统的基本性质，描述量子态可同时处于多个可能状态的线性组合
量子相干：量子叠加的一种形式，描述了特定基底下定义不同叠加分量间的相位关系；相干表现为干涉现象（比如双缝干涉实验），即波函数在不同路径上的叠加；量子系统与环境纠缠导致信息泄露，会引起随机相位扰动导致叠加态分量相位关系破坏，这一过程也被称为去相干/退相干
量子纠缠：量子叠加的另一种形式，描述了多粒子量子系统的非局域关联（超越经典理论的空间分离系统间关联）；假设两个粒子经过短暂耦合后分开，单独搅扰其中的一个粒子，会同时影响到另一个粒子的性质（即使另一个粒子离得很远~）；即处于纠缠态的粒子间共享一个不可分解的量子态，但这种纠缠态会在观测后消失
量子相干和纠缠的关系
- 二者已被证明是“操作等效”的，即存在概念区别但实际是等效的
- 量子资源理论将量子相干性和量子纠缠视为两种基本量子资源，它们在不同操作限制下表现出不同的价值。这两种资源间存在严格的转化规则，形成完整的资源理论框架
- 操作联系：相干态通过受控门转化为纠缠态；通过相干测量检测纠缠存在；分布式系统中纠缠辅助相干操作
量子噪声
量子噪声：在量子计算过程中出现的会干扰和影响量子信息处理的不确定因素，主要源于量子系统与环境的不可避免相互作用，并且量子系统的误差是其中的大量量子产生的误差叠加
量子信息的脆弱性使其易受噪声干扰，削弱了量子计算相对于传统计算的优势
量子噪声的主要表现类型（1）退相干噪声：量子态与环境纠缠，破坏量子叠加态的相干性（2）振幅阻尼/能量弛豫：系统能量向环境耗散，影响量子比特的存储寿命（3）退相位/相位弛豫：量子态保持能量但相位信息随机变化，破坏叠加态的相对相位关系（4）其他噪音，包括 1/f 低频噪声长期漂移、材料微观缺陷/离散能级跳变、环境温度波动、测量过程、邻近量子比特影响、量子系统电子控制等
量子错误的类型：
- 比特翻转（X 错误），超导量子比特因电磁干扰导致能级跃迁
- 相位翻转（Z 错误），量子比特与环境发生能量交换，导致相位随机化
- 两者的组合（Y 错误），同时经历能级跃迁和相位扰动
量子操作
概念区分： （1）物理量子比特，实际硬件中的基本量子单元 （2）数据量子比特，直接存储逻辑量子信息的物理量子比特 （3）辅助量子比特，具备辅助性的物理量子比特，通过纠缠数据量子来检测错误或实现量子门操作 （4）逻辑量子比特，多个物理量子比特组成的量子单元，存储量子信息并具备纠错能力
硬测量：
- 对量子比特施加强探测脉冲，迫使它坍缩到经典态，并输出离散值（0/1）
- 代价是量子态被破坏，无法获取叠加态的概率幅信息（不同结果的发生概率）
软读出：
- 施加弱探测脉冲，使辅助量子比特与谐振腔发生弱耦合，读取谐振腔频率的微小偏移
- 借助微弱信号反推数据比特状态，最小化干预，输出为连续值（类似模拟信号）
- 可能部分破坏辅助辅助量子比特，可通过多次采样来估计概率幅（效率低）
- 软读出常用于中间态监控和实时纠错，是量子计算机走向实用化的重要前提
量子门操作（部分）：
- 泡利（pauly）门：包括X门（比特翻转）、Z门（相位翻转）、Y 门（比特+相位翻转）
- Hadamard 门：将量子叠加态的基态从z方向的自旋基态转为x方向的自旋基态
- CNOT 门：当第一个量子比特处在在1初态时，翻转第二个量子比特（创建量子纠缠态）
- SWAP 门：交换两个量子比特之间的状态，可用于量子纠缠和量子通信
对于不同物理机制的量子硬件平台，量子门操作需要依赖不同的实现方式；比如超导量子比特构建的硬件平台，其单量子门实现一般依靠微波脉冲，双单量子门实现一般谐振腔耦合 + 交叉共振微波（？不懂）
量子纠错
量子纠错（英语：Quantum error correction, QEC）是量子计算领域应用的一套关键技术，旨在保护量子信息免受退相干及其他量子噪声源所引发错误的影响
重复码（repetition code）是一种最简单（但效率较低）的方法
- 该方法利用了信息冗余原理，将需要保护的逻辑信息复制多份并进行存储
- 若后续因量子噪声导致副本间不再一致，则通过投票法来还原最大可能的原始信息
- 纠错码并不总能完美恢复逻辑量子比特，但其目标是显著降低噪声对逻辑状态的影响
表面码（surface code）是另一种更常用的量子纠错方法
- 表面码网格示意图：黄色为数据量子比特，其他颜色为测量量子比特
- 数据量子比特位于网格交叉点，存储量子信息；测量量子比特位于网格边线，他们通过局域相互作用来形成纠错网络，用于检测局部存在的错误并进行纠正操作
- 表面码阈值：当物理量子比特的错误率低于某一阈值时，通过增加表面码的规模（即扩大网格面积），可以使得逻辑量子比特的整体错误率无限趋近于零。反之，若物理错误率高于阈值，纠错反而会引入更多错误
- 表面码的理论阈值约为1%，低于阈值时表面码才能通过扩展规模实现容错；然而规模的扩展也会引入更多错误机会，当物理量子比特的错误率过高时，规模的扩展反而可能会降低处理器的性能
表面码与二维码存在类似之处，二者都利用二维空间的几何结构来编码和检测错误；不过表面码需要检测和纠正的量子错误更复杂，同时表面码需要持续主动的检测错误，并维持一个动态的纠错过程。
量子实验
级联斯特恩-盖拉赫实验
- 斯特恩-盖拉赫实验最初是用来测量银原子的自旋。自旋是一个量子属性，可以简单地理解为一种“旋转”方向。实验通过一个不均匀磁场来分离不同自旋方向的原子
- 级联斯特恩-盖拉赫实验，顾名思义，就是在原实验的后面再加上磁场，继续做实验；结果发现，在第一次测量中选择了自旋“向上”的原子，第二次测量可以显示出不同的自旋方向
- 实验显示了量子态的叠加性质，即使原子的初始状态是已知的，但测量结果仍然是概率性的，因为测量都会影响系统的状态（完全无法用经典力学解释，反应了量子力学的不确定性和概率性）
单电子双缝干涉实验
- 在双缝实验中，光通过一个屏幕上的两个狭缝，然后在后面的屏幕上形成干涉图样
- 如果将光源的强度降低到每次只发射一个光子，实验结果仍然显示干涉图样。这表明即使是单个光子也能表现出波动性；然而，当检测设备用于观察哪个缝通过光子时，干涉图样消失，显示出光的粒子性
- 双缝实验揭示了光的波粒二象性，挑战了经典物理学的直观理解，推动了量子力学的发展
- 实验显示了测量对系统状态的影响：观察哪个缝通过光子会改变光子的行为。这与海森堡不确定性原理和量子测量理论相关，强调了观察者在量子系统中的作用
量子理论
泡利不相容原理
- 在一个给定的量子系统中，两个或多个费米子（如电子）不能处于完全相同的量子态
- 泡利不相容原理有助于理解微观粒子如何排列和互动，从而解释宏观物质的性质和行为
- 举例 1：化学元素的电子结构是因为每个原子轨道最多只能容纳两个自旋相反的电子（即自旋量子数不同），电子必须填充到更高的能级和轨道，这导致了元素周期表的结构和化学性质的多样性
- 举例 2：由于泡利不相容原理，电子不能无限地压缩到同一个状态，这为物质提供了稳定性。它是物质在高密度条件下（如白矮星和中子星）保持稳定的重要原因
一个由全同粒子组成的多粒子系统量子态，定义其交换粒子 1 和粒子 2 前后的状态分别为 $|\psi_{12} \rangle$ 和 $|\psi_{21} \rangle$；当系统具备对称性时（$|\psi_{12} \rangle = + |\psi_{21} \rangle$）被称为玻色子；当系统具备反对称性时（$|\psi_{12} \rangle = - |\psi_{21} \rangle$）被称为费米子
海森堡不确定原理：
- 越能准确地设定粒子的位置，设定粒子动量的不确定性就越大，反之亦然
- 在量子力学中，粒子的状态不能被完全确定；这种不确定性是量子系统的固有性质
- 不确定原理是量子力学与经典物理学之间的重要区别，揭示了微观世界的非确定性和概率性
量子隧穿效应
- 即使粒子能量 < 势垒高度，粒子也有一定概率像幽灵般“穿过”本不可逾越的障碍
- 电子有较高的概率隧穿1纳米氧化层，而人撞墙的隧穿概率约为$10^{-10^{34}}$（几乎为零）
- 太阳持续核聚变的原因：质子通过隧穿穿越势垒，使氢核聚变得以持续
- 植物中的特殊粒子可通过隧穿高效传递能量，使得光合作用效率接近100%
- U盘、SSD 的数据闪存芯片通过控制电子隧穿进出浮栅，实现0/1状态的快速写入
量子应用
质因数分解：
- 质因数分解，将一个正整数分解为一系列质数的乘积，比如 $15=5\times 3$
- 大质因数分解的算法复杂度很高，是很多现代加密算法（RSA）的底层依赖
- 量子计算能够借助 Shor 核心算法实现多项式时间复杂度来解决这类问题
简单来说，Shor 算法先将因数分解转化为一个“周期性规律”的发现问题，然后借助量子叠加态同时考虑周期的所有可能，并使用量子傅里叶变换（QFT）进行量子干涉，放大正确结果的概率，让错误答案在干涉中消失
量子化学：
- 化学分子作为一种量子系统，很适合使用量子计算的方式模拟（比如模拟电子的运动）
- 量子计算可以直接模拟化学反应路径，从而寻找催化剂，解释超导材料，优化光伏材料
- 量子计算可以模拟药物分子，预测药物效果，优化药物结构，加速研发，减少副作用
量子机器学习：
- 量子计算的量子态空间随量子比特数指数增长，天然地适合处理高维数据
- 量子叠加态能同时探索可能的参数组合，适合处理超参搜索、组合优化等问题
- 量子机器学习更适合处理量子态数据（参数效率远高于经典网络）的生成或分类
- 传统数据可以转化为量子态数据并运用量子机器学习，但目前转换效率仍然较低
其他：
- 量子计算: 相干提供计算加速，纠缠实现非局域逻辑门
- 量子通信: 相干实现量子调控，纠缠支持远程传态
- 量子测量: 相干提高精度，纠缠突破标准量子极限
- 量子热力学: 相干与纠缠作为非平衡资源的利用
进阶阅读：
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