TOPSIS 综合评价
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TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution) ，也称优劣解距离法，是一种常用的组内综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距

针对多标准/多目标决策问题（MCDM/MCDA），决策者需要面对多种决策标准和可行决策方案，TOPSIS 的作用就是帮助决策者综合考虑多个决策标准，在多个可行决策方案之间找到最优解

TOPSIS 示例：评估 5 所研究生院的教育质量

5 所研究生院的评估数据及其权重如下：

院校 人均专著 $x_1$ (本/人) 生师比 $x_2$ 科研经费 $x_3$ (万元/年) 逾期毕业率 $x_4$ (%)
A 0.1 5 5000 4.7
B 0.2 6 6000 5.6
C 0.4 7 7000 6.7
D 0.9 10 10000 2.3
E 1.2 2 400 1.8
  • 权向量在本案例中设置为 $\omega = [0.2,;0.3,;0.4,;0.1]$
  • 权向量一般来自专家评估法或基于信息论的熵值法

STEP1：指标属性同向化，避免有的指标越大越好，有的指标越小越好

院校 人均专著 生师比 科研经费 逾期毕业率
院校 A 0.1 1.000000 5000 0.212766
院校 B 0.2 1.000000 6000 0.178571
院校 C 0.4 0.833333 7000 0.149254
院校 D 0.9 0.333333 10000 0.434783
院校 E 1.2 0.000000 400 0.555556
  • 人均专著、科研经费为效应型指标，越大越好；因此保持不变
  • 逾期毕业率为成本型指标，越小越好；因此取倒数
  • 生师比为区间型指标，需人为定义最佳稳定区间和最大容忍区间

STEP2：指标属性归一化，即每一列元素都除以当前列向量的范数

院校 人均专著 生师比 科研经费 逾期毕业率
院校 A 0.063758 0.597022 0.344901 0.275343
院校 B 0.127515 0.597022 0.413882 0.231092
院校 C 0.255031 0.497519 0.482862 0.193151
院校 D 0.573819 0.199007 0.689803 0.562658
院校 E 0.765092 0.000000 0.027592 0.718952

STPE3：根据每一列的最大值和最小值，确定最优方案和最劣方案

人均专著 生师比 科研经费 逾期毕业率
最优方案 0.765092 0.597022 0.689803 0.718952
最劣方案 0.063758 0 0.027592 0.193151

STPE4：利用优劣解距离，来进行单一方案的评价，选出最优方案 $$ 方案A的距离=\frac{方案A-最劣解}{最优解-最劣解} $$

  • 方案 A 为理想最优解时，其距离值为1；方案 A 为理想最劣解时，其距离值为0
  • 遍历所有方案，并按照距离排序，最终距离最大/排名最高的方案，即为最优解
人均专著 生师比 科研经费 逾期毕业率 最终得分 正理想解 负理想解 排序
院校A 0.1 5 5000 4.7 0.485830 0.406984 0.384552 4
院校B 0.2 6 6000 5.6 0.526483 0.368177 0.409360 3
院校C 0.4 7 7000 6.7 0.562158 0.315879 0.405565 2
院校D 0.9 10 10000 2.3 0.677571 0.239342 0.502968 1
院校E 1.2 2 400 1.8 0.400512 0.531357 0.354994 5

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