19.定积分的应用(对数与几何)

1 对数的定义与性质

definition of the logarithm: L(x)=1x1tdt

对数函数的性质

  • L(x)=1xL(1)=111tdt=0,这两个性质唯一的确定对数函数
  • L(x)=1x2可知,函数处处下凹
  • L(1)=1,函数图像在点(1,0)位置与y=x1相切
  • 函数图像与y=1相交于点(e,1),即e满足L(e)=1

附件/Pasted image 20211007124756.png

证明:L(ab)=L(a)+L(b)

  • L(ab)=1a1tdt+aab1tdt=L(a)+aab1tdt
  • 采用换元法,令t=au,则dt=adu
  • aab1tdt=1b1udu=L(b)
  • 积分上下限一般情况下是不可约的,此处换元法只是几何上的伸缩
  • 对数函数的上下限是可约的,例如ln4ln2=ln2ln1

2 几种特殊的定积分函数

误差函数(short-for-error function,简称erf) erf(x)=2π0xet2dt

  • 此函数在上一节微积分基本定理的应用有提及
  • 它是一个钟型函数,并且拥有两条渐近线: limxF(x)=π2limxF(x)=π2
  • 误差函数正是数学家为了将函数值极限变为1,拼凑出来的一个函数
  • 误差函数的另一种变体是标准正态分布f(x)=12πex2dx

菲涅尔积分(Fresnel integral) C(x)=0xcos(t2)dt S(x)=0xsin(t2)dt

傅里叶分析中常用的函数 H(x)=0xsinttdt

黎曼假设:小于x的素数个数约等于 Li(x)=2x1lntdt

3 定积分的几何应用

定积分表示在某个区间上函数曲线与x轴所围成的面积

所以可以用于求解多个函数曲线所围成图像的面积,具体过程略

4 参考

MIT—单变量微积分笔记21 积分在对数和几何上的应用

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