个人笔记

1 数值积分示例

题目：用数值积分法求解${\int }_1^2\frac{dx}{x}$

先用普通方法计算积分的精确结果（用于精度比较）：

$${\int }_1^2\frac{dx}{x}=lnx{|}_1^2=ln2\approx 0.693147$$

然后使用辛普森公式进行近似值求解：

• 选择最简单的近似求解，此时$\mathrm{\Delta }x=\frac{1}{2},n=2$
• 涉及三个坐标$(1,1),(\frac{3}{2},\frac{2}{4}),(2,\frac{1}{2})$
• 最终结果$\frac{\mathrm{\Delta }x}{3}(y_0+4y_1+y_2)=\frac{1}{6}(1+4\frac{1}{3}+\frac{1}{2})\approx 0.69444$
• 此时数值计算结果和真实值的误差为$(\mathrm{\Delta }x{)}^4$

2 积分计算示例

题目：计算$y=e^{-r^2}$函数曲线下的面积为$Q={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-r^2}dr$

• 设函数 $F(x)={\int }_0^x{e}^{-t^2}dt$，则$Q=2F(\mathrm{\infty })$，由此将积分计算问题转化为对面积的求解
• 设$y=e^{-r^2}$函数图像绕$y$轴旋转一周后的旋转体体积为$V$
• 则根据壳层法可得：$V={\int }_0^{\mathrm{\infty }}2\pi r{e}^{-r^2}dr=\pi$
• 通过选择不同的$b$，可以利用平面$y=b$对旋转体进行分割，如下图左侧

分割过程细节补充（妙啊~）

• 每次通过平面$y=b$分割旋转体都会得到一个截面，设截面的面积为$A(b)$
• 从顶视图（俯视图）的角度来看，设截面上任意点与$z$轴的距离为$r$，则$r^2=b^2+x^2$
• 由于旋转体是由函数$y=e^{-r^2}$绕$y$轴旋转所得，所以面积$A(b)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-r^2}dx$
• 面积$A(b)$的化简：$A(b)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-b^2}{e}^{-x^2}dx=e^{-b^2}Q$
• 考虑圆盘法的逆向过程，则所有截面的面积加和应该等于旋转体的体积
• 即$V={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}A(y)dy={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-y^2}dyQ=Q^2$

• 最终解析分割过程，得出结论$V=Q^2$，即$Q=\sqrt{V}=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$

3 Unit 3 知识点简单概括

截止到第二十三节课，本课程的第三单元：积分入门（Unit 3 Intro to Intergration）部分内容已完成，内容脉络简单梳理如下：

• 定积分的定义与求解（面积近似法）
• 微积分基本定理（FTC1、FTC2、换元法）
• 定积分的应用（圆盘法、壳层法、功、概率）
• 定积分的数值计算（黎曼和、梯形法、辛普森公式）

4 参考

MIT—单变量微积分笔记25 复习三

#数值积分