个人笔记

1 参数方程示例

$$x=acost,y=asint$$

• 一个明显性质是$x^2+y^2=a^2$，极限状态下$(ds{)}^2=(dx{)}^2+(dy{)}^2$
• 则$ds=\sqrt{(\frac{dx}{dt}{)}^2+(\frac{dy}{dt}{)}^2}dt=adt$
• 也就是$a=\frac{ds}{dt}$，$a$描述的是一种恒定速率
• 此参数方程描述的是一种逆时针匀速圆周运动，其中圆的半径为$a$
• 当$x=sint,y=cost$时，参数方程描述的是一种顺时针匀速圆周运动

2 极坐标 polar coordinates

极坐标是对二维平面上点的另一种坐标描述（距离$r$与夹角$\theta$）

$$(x,y)\to x=rcos\theta ,y=rsin\theta$$ $$r=\pm \sqrt{x^2+y^2},\theta =arctan\frac{x}{y}$$

示例1：坐标$(x,y)=(1,-1)$的三种极坐标表示形式

1. $r=\sqrt{2},\theta =\frac{7\pi }{4}$
2. $r=\sqrt{2},\theta =-\frac{\pi }{4}$
3. $r=-\sqrt{2},\theta =\frac{3\pi }{4}$

示例2：圆心在$(a,0)$并且半径为$a$的圆

• 由原始方程$(x-a{)}^2+y^2=a^2$可得$x^2-2ax+a^2+y^2=a^2$
• 带入$r^2=x^2+y^{2}2$可得$r^2-2ax=r^2-2arcos\theta =0$
• 化简可得$r=2acos\theta orr=0$

3 参考

MIT—单变量微积分笔记32 极坐标和极坐标下的面积

#极坐标