1 极坐标与面积
半径为
其中角度为
无限细分角度,可得
对于一些不规则的类圆图形,可引入参数方程,令
2 极坐标与面积示例
题目1:计算
构建的图像就是圆心在 ,半径为 的圆- 此题目也是从定积分的角度得出了圆的面积公式
题目2:绘制
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- 选择不同的
与 的特殊点,构建表格并用于绘图 - 最终的函数图像被称之为四叶玫瑰(four-leaf rose)
题目3:绘制
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- 选择不同的
与 的特殊点,构建表格并用于绘图 - 当
,即 时, 趋近于无穷 - 将参数方程转为指标坐标系方程:
- 由
可得, - 上式为双曲线(hyperbola)函数
- 当
时,对应双曲线的另一条
补充:双曲线、开普勒定律与角动量守恒
- 双曲线是彗星的轨道,椭圆则是行星或小行星的轨道
时对应的是双曲线的焦点,即太阳所在,这也是物理绘图时把重心作为坐标原点的依据 是天文学的核心公式,以开普勒定律(行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过的面积相等)为例 ,这说明在无摩擦的情况下,物体旋转后会以大致相同的比率继续旋转(也就是角动量守恒 conservation of angular momentum) - 由于
是不变的(只取决于中心质量,如太阳),所以当减小 时, 会变大,这也是滑冰运动员让自己蜷缩时会增大转速的原因
3 Unit 4 知识点简单概括
截止到第三十节课,本课程的第四单元部分内容已完成,内容脉络简单梳理如下:
- 特定三角函数的积分通解(三角替换)
- 借助换元法和配方法研究带三角函数的积分求解
- 借助“掩盖”法对积分公式中的线性因子进行拆分,以简化计算
- 借助分部积分法对部分特殊的积分进行简化
- 研究参数方程,并结合积分进行弧长、面积的求解