30.第四次复习

1 极坐标与面积

半径为a的圆的面积为A=πa2

其中角度为Δθ的扇形面积为ΔA,则ΔA=Δθ2ππa2=12a2Δθ

无限细分角度,可得dA=12a2dθ,则A=θ1θ212a2dθ

对于一些不规则的类圆图形,可引入参数方程,令r=r(θ)

2 极坐标与面积示例

题目1:计算r=2acosθ(π2θπ2)时,所构图像面积A

A=π2π212(2acosθ)2dθ=πa2

  • r=2acosθ构建的图像就是圆心在(a,0),半径为a的圆
  • 此题目也是从定积分的角度得出了圆的面积公式

题目2:绘制r=sin2θ的函数图像

r 0 1 0 ....
θ 0 π4 π2 ....
  • 选择不同的rθ的特殊点,构建表格并用于绘图
  • 最终的函数图像被称之为四叶玫瑰(four-leaf rose)

题目3:绘制r=11+2cosθ的函数图像

r 13 1 1 ....
θ 0 π2 π2 ....
  • 选择不同的rθ的特殊点,构建表格并用于绘图
  • 2cosθ=1,即θ=±23π时,r趋近于无穷
  • 将参数方程转为指标坐标系方程:r=12rcosθ=12x
  • r2=(12x)2=x2+y2可得,3x2+y2+4x1=0
  • 上式为双曲线(hyperbola)函数
  • θ[23π,23π]时,对应双曲线的另一条

补充:双曲线、开普勒定律与角动量守恒

  • 双曲线是彗星的轨道,椭圆则是行星或小行星的轨道
  • r=0时对应的是双曲线的焦点,即太阳所在,这也是物理绘图时把重心作为坐标原点的依据
  • dA=12r2dθ是天文学的核心公式,以开普勒定律(行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过的面积相等)为例
  • dAdt=12r2dθdt=C,这说明在无摩擦的情况下,物体旋转后会以大致相同的比率继续旋转(也就是角动量守恒 conservation of angular momentum)
  • 由于C是不变的(只取决于中心质量,如太阳),所以当减小r时,dθdt会变大,这也是滑冰运动员让自己蜷缩时会增大转速的原因

3 Unit 4 知识点简单概括

截止到第三十节课,本课程的第四单元部分内容已完成,内容脉络简单梳理如下:

  • 特定三角函数的积分通解(三角替换)
  • 借助换元法和配方法研究带三角函数的积分求解
  • 借助“掩盖”法对积分公式中的线性因子进行拆分,以简化计算
  • 借助分部积分法对部分特殊的积分进行简化
  • 研究参数方程,并结合积分进行弧长、面积的求解

4 参考

MIT—单变量微积分笔记33 复习四

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