异质性干预效应
定义外生变量为 $X$，干预变量为 $T$，评估异质性干预效应的公式如下： $$ \underset{T}{argmax} \ E[Y|X, T] $$
- 举例来说，$Y$ 可以是每日销售额，$X$ 是背景特征（无法控制的外生变量，比如前几天的平均销售额），而 $T$ 是可以提高销售额的干预变量（比如价格调整、库存水平或营销策略）
- 通过背景特征 $X$ 来定义个体类型，从而实现干预的异质化，即找到针对个体的最佳干预方式
线性回归示例
估计条件平均干预效应（CATE），以线性回归为例： $$ y_i = \beta_0 + \beta_1 t_i + \beta_2 X_i + \beta_3 t_i X_i + e_i $$
- 其中 $\hat{\beta_1} + \hat{\beta_3}X_i$ 描述了结果 $y$ 对干预 $t$ 的敏感度预测，即 CATE
以冰淇淋销量的敏感度预测为例：
- 实验目的：评估价格和温度，对冰淇淋销量的影响
- 定义线性方程：$sales_i = \beta_0 + \beta_1 price_i + \beta_2 price_i * temp_i + \pmb{\beta_3}X_i + e_i$
- 价格对冰淇淋销量的敏感度预测可表示如下：$\hat{\beta_{1}}+\hat{\beta_{2}}temp_{i}$
- 通过回归建模可得，$\hat{\beta_{1}}=-3.6,\hat{\beta_{2}}=0.03$；因此当气温在 25° 时，价格每增加 1 块，销量就会下降 2.8 个单位；但当气温在 35° 时，每增加 1 雷亚尔的价格，销量只会下降 2.5 个单位
- 该结论符合直觉。随着天气越来越热，人们也更愿意为冰淇淋支付更高的价格
非参数机器学习
CATE 也可以通过非参数的机器学习模型来评估
- 构建集成树模型 $G$ ，用于建模预测（假设希望预测销量对价格的敏感度）：$sales_{i}=G(X_{i},price_{i})+e_{i}$；其中 $e_{i}$ 表示残差，描述了建模不可知的信息
- 先在测试集上评估模型的结果，确保预测的有效性（比如 $R^2>0.7$）
- 再利用数值近似法，借助模型 $G$ 来评估销量的敏感度：$\frac{y(t+h)-y(t)}{h}$；$h$ 是对 $t$ 的极小扰动，在本例中可取值 $h=0.01$
除了数值近似法，还可以通过目标转换的方式来直接预测 CATE
- 目标转换法（也称 F-Learner）通过将原始目标 $Y$ 与干扰 $T$ 结合，构建转换了一个新的预测目标，并且该目标的期望等于 CATE
- 对于分类问题，目标转换的公式可表示如下：$Y^*_i = Y_i * \dfrac{T_i - e(X_i)}{e(X_i)(1-e(X_i))}$；其中 $e(X_i)$ 表示倾向得分或干预概率；对转换后的目标进行预测建模，得到的模型即可直接用于 CATE 的预测推理
- 对于回归问题，目标转换的相关研究偏少；此处只提供一个在实践中有效但可能缺少严格理论保障的转换方法：$Y^*_i = (Y_i- \bar{Y})\dfrac{(T_i - \bar{T})}{\sigma^2_T}$；其中 $\sigma_T$ 表示干预变量的标准差
- 目标转换法会增加预测结果的方差，因此更适用于数据规模较大（百万级）的情况，并且主要用于分类问题，在回归问题上的研究偏少
关于以上两个转换公式的详细证明过程（转换后目标的期望等于 CATE）可参阅《因果推断：从概念到实践》的第 20 章
其他可用于异质性因果效应评估的常见方法：双重机器学习 DML、双向固定效应 TWFE、 合成双重差分法 SDID、广义随机森林 GRF
因果效应评价
分段的敏感度图 Sensitivity by Model Band：
- 根据模型预测输出对样本进行分区，计算每个分区的平均敏感度
累积敏感度曲线 Cumulative Sensitivity Curve：
- 对于完全随机样本，不同分组间的 CATE 是一样的，等价于 ATE
- 因此按照分区累积的灵敏度曲线会逐渐收敛并接近随机模型的表现
- 对不同模型来说，累积敏感度曲线越陡峭越好（Model-2 优于 Model-1）
累积增益曲线 Cumulative Gain Curve
- 在累积敏感度曲线的基础上优化：用累积敏感度乘以比例样本量
- 累积增益曲线与随机曲线的偏差越大，模型越好（Model-2 优于 Model-1）
- 根据回归预测的残差 $\hat\epsilon_i$ 和干预效应值，可为累积增益曲线计算并绘制置信区间
$$ci = s_{\hat\beta_1}=\sqrt{\frac{\sum_i\hat\epsilon_i^2}{(n-2)\sum_i(t_i-\bar t)^2}} $$
Qini 曲线：
- 累积增益曲线的修正版本，解决了干预组和对照组间数据不平衡的问题
- 当干预组和对照组的样本量相同时，Qini 曲线等价于累积增益曲线
累积增益曲线可以看作因果模型的 ROC 曲线，其中累积增益曲线相对随机曲线下面积，也被称为 AUUC（Area Under Uplift Curve）；而 Qini 曲线下面积对应的是 Qini 系数